متغیر کمی که پیوسته نباشد.
مثال : جمعیت یک روستا، تعداد نامه های یک اداره و...
"مناسب برای دبیران، دانش آموزان و اولیاء"
برای دانلود کل پاورپوینت از لینک زیر استفاده کنید:
چکیده‌ی مطالب
این مطالعه به استفاده از برنامه‌نویسی پویا برای راه‌اندازی دوره‌های چند گانه مدل تخصیص داراییها و فرمولهای تحلیلی به نسبتهای مطلوب برای سرمایه‌گذاری در اوراق قرضه کوتاه مدت و بلند مدت می‌پردازد. آنگاه در این روش حداکثر احتمال استخدام به منظور برآورد پارامترهای مربوطه وجود دارد در نهایت مدل ما از طریق پیاده‌سازی الگاریتم بازگشتی به عقب برای یافتن تخصیص عددی بهینه بودجه بین اوراق قرضه کوتاه مدت و بلند مدت برای یک سرمایه‌گذار با ابزار قدرت و افق سرمایه‌گذاری از ده سال میباشد. نتایج ما نشان می‌دهد که سرمایه‌گذار به نسبت بیشتری از اوراق قرضه کوتاه مدت نگه می‌دارد اگر افق سرمایه‌گذاری خود را کوتاهتر کند اگرچه این ریسک برخلاف میل او باشد.
کلمات کلیدی:
دوره‌های چند گانه تخصیص داراییها، برنامه‌نویسی تصادفی پویا، تابع الگاریتم بلمن، ابزار قدرت، دو فاکتور مدل Vasicek، الگاریتم بازگشت به عقب.
1- مقدمه
یکی از مراحل مهم در فرآیند مدیریت سرمایه‌گذاری برای سرمایه‌گذاران، انجام تصمیم‌گیری، جهت سرمایه‌های اختصاصی به منظور میزان سرمایه‌گذاریها میباشد تا به این وسیله اهداف خود را برای سرمایه‌گذاری برآورده کنند. آنها باید تصمیم بگیرند که چگونه باید خود را با بودجه تخصیص داده شده در سرمایه‌گذاریهای متفاوت وفق دهند. تخصیص دارایی و یا انتخاب نمونه کارها معمولاً براساس این فرضیه میباشد که سرمایه‌گذاران با استفاده از معیار میانگین و واریانس [13]Markowitz به تخصیص بودجه خود در میان داراییهای مختلف بپردازند. این تخصیص به این صورت است که اساساً نزدیک‌بینی یا کوتاه اندیشی در آن جز در یک دو راه بهینه نادیده گرفتن همه چیز اتفاق می‌افتد. برای تخصیص داراییها با مشکلات بیش یک دوره موسن نشان داد که که رویکرد کوته نظر در امر سرمایه‌گذاری تنها در صورتی مطلوب است که سرمایه‌گذار تابع لگاریتم سودمند باشد به این معنا که در چند دوره مشکلات تخصیص داراییها، استراتژی کوته نظر برای کارکردهای سودمند دیگر مطلوب میباشد.
در چندین دوره مشکلات تخصیص سرمایه، افق سرمایه‌گذاری، سرمایه‌گذار به دوره‌های n تقسیم‌بندی شده است. در انتها هر یک از آنها به سند داراییهای جمع‌آوری شده در هر دوره‌ای که انجام گرفته باز می‌گردند و می‌توانند تصمیم جدیدی در مورد ترکیب سبد سرمایه‌گذاری بیش از دوره‌ی بعدی اتخاذ نمایند. تصمیمات سرمایه‌گذاری او با هدف افزایش سرمایه و استفاده از ثروت در پایان سرمایه‌گذاری انجام می‌گیرد. از اینرو تخصیص بهینه داراییها علاوه بر ایجاد تنوع در سراسر داراییها همچنین باید در طول مدت زمان نیز دارای تنوع باشد.
مشکلات گسترده تخصیص دارایی از یک دوره به چند دوره را می‌توان توسط سیستمهای برنامه‌نویسی پویا انجام داد. برنامه‌نویسی پویا که توسط ریاضیدان مبتکر آمریکایی ایجاد شده است برای حل مشکلات چند دوره بهینه‌سازی مشکلات به وسیله شکستن آنها در یک دوره بهینه‌سازی مشکلات بکار می‌رود. از اینرو در حالیکه تخصیص داراییها را براساس معیار بهینه‌سازی Markowitz بیش از یک دوره بر اساس برنامه‌نویسی پویا بیش از چند نقطه میباشد.
برنامه‌نویسی پویا با عناصر تصادفی به هم پیوسته به عنوان برنامه‌نویسی پویا Merton شناخته شده است اولین درخواست از این تکنولوژی برای مصرف – تخصیص نمونه کارها و یک مدل تداوم زمانی است که در آن سرمایه‌گذار به بهینه‌سازی طول عمر خود با انتخاب ابزار مورد انتظار، برای مصرف بهینه و انتخاب نمونه کارها می‌پردازد. به ویژه برای یک سرمایه‌گذار با ابزار قدرت Merton راه حل صریح و اشتقاقی برای مصرف بهینه و تخصیص مطلوب سرمایه برای یک دارایی دارای ریسک داراییهای بدون ریسک میباشد.
اشکال عمده‌ای از مدل مصرف بهینه Merton که مدل فرضی نمونه کار داراییهای بدون ریسک که شامل داراییهایی است که دارای بازگشت ثابت است. به عبارت دیگر نرخ بهره فرض شده ثابت میباشد. در حقیقت نرخ بهره بطور ثابت در نوسان بوده بنابراین این فرضیه آشکارا با واقعیت تناقض دارد. علاوه بر این بسیاری از مطالعات تجربی مانند Schaefer [20] و stambaugh [21] و litterman و scheinkmanثابت کرده‌اند که حداقل دو عامل برای توضیح عملکرد بهره لازم است.
هدف این مطالعه سه چیز است: اول؛ اینکه همانطور که در ابتدا ذکر شد تخصیص مطلوب علاوه بر تفاوت در سراسر دارایی باید در طول زمان سیم دارای تفاوت باشد از اینرو ما به مطالعه‌ی اختصاص سرمایه در چند دوره با استفاده از روش برنامه‌نویسی تصادفی پویا می‌پردازیم. دوم؛ اینکه برای فرمول ما تطبیق واقعیت با نرخ سود اتفاقی است و حداقل دو عامل در آن نقش دارد و ما به خاطر توضیح عملکرد آنها از دو عامل مدل vasicek برای توصیف تحول نرخ استفاده می‌کنیم. سوم؛ از زمانیکه اوراق بهادار بطور فزاینده‌ای در میان سرمایه‌داران مشهور در طی30 سال گذشته به اوراق قرضه تبدیل شده است ما به بررسی تخصیص دارایی بین اوراق قرضه کوتاه مدت و بلند مدت پرداخته‌ایم. براین اساس این مطالعه از برنامه‌نویسی تصادفی پویا برای تعیین بهینه چند تخصیص بین اوراق قرضه کوتاه مدت و بلند مدت برای یک سرمایه‌گذار با افق سرمایه‌گذاری 10 ساله استفاده می‌کند.
ادامه این مقاله با عنوان درآمد حاصل از قرار زیر می‌باشند. در بخش (2) از برنامه‌نویسی تصادفی پویا برای راه‌اندازی مدل تخصیص داراییهای چند دوره‌ای و در نهایت فرمول تحلیلی برای تناسب مطلوب ثروت در کوتاه مدت و بلند مدت استفاده شده است. در بخش (3) ما روش احتمال حاکثر در برآورد پارامترهای مربوط به مدل را مورد استفاده قرار دادیم. بخش (4) نشان می‌دهد که چگونه از مدل الگاریتم سراسری بازگشت به عقب استفاده می‌شود. در بخش (5) ما ارائه نتایج به نسبتهای مطلوب برای سرمایه‌گذاری اوراق قرضه در کوتاه مدت و بلند مدت می‌پردازیم؛ بخش (6) نتایج حاصل از این مقاله میباشد.
2- استخراج تخصیص بهینه داراییها توسط برنامه‌نوسی تصادفی پویا
در این بخش ما با استفاده از برنامه‌نویسی تصادفی پو.یا به راه‌اندازی مدل چند دوره‌ای تخصیص داراییها می‌پردازیم. فرض می‌کنیم که یک سرمایه‌گذار به اختصاص ثروت خود میان اوراق قرضه کوتاه مدت و بلند مدت جهت به حداکثر رساندن قدرت ابزار مورد انتظار خود در انتهای افق سرمایه‌گذاری می‌پردازد. با فرض مصرف صفر قبل پایان زمان T و اجازدهی U[c(t),t] در تابع بلمن I[w(t),t] است:
(1)
در معادله(1) این تابع سودمند نقش مهمی را در ساخت تابع الگاریتم بلمن بازی می‌کند ]16-10[ داشتن یک راه‌حل صریح و روشن برای مدلهای خود سامیولسن ]19[ مرتن ]15و14[ ریچارد ]18[ برنان و همکاران ]3[ و باربرس و همکاران همگی می‌پندارند که سرمایه‌گذاران دارای ابزار قدرت هستند (در اینجا y پارامتر ریسک گریزی میباشد).
از دیگر مزایای استفاده از ابزار قدرت این است که منجر به دستیابی به راه‌حل آشکار و واضح می‌شود و آن ثروت مستقل میباشد. استفاده از ابزار قدرت بطور کلی در اکثر مقالات برمن و همکارانش مورد حمایت قرار گرفته است. نتایج تجربی نشان می‌دهد که نوعی تابع سودمند وجود دارد که یک سرمایه‌گذار آن را به وسیله کاهش ریسک گریزی مطلق و ریسک گریزی نسبی ثابت توصیف می‌کند این خاصیتها با ابزار قدرت همسو هستند. از اینرو ما در این مقاله ابزار قدرت را مورد استفاده قرار می‌دهیم.
یکی از دو عامل vasicek مدل نرخ بهره میباشد که برای توصیف پویایی نرخ بهره مورد استفاده قرار گرفته شده است. که یکی از آنها برای ارزش‌گذاری نرخ کوتاه مدت و دیگری برای ارزش‌گذاری نرخ طولانی مدت بکار می‌رود. مدل vasicek بطور گسترده‌ای توسط سرمایه‌گذاران بنگاهی و رسمی همچون محققان مورد استفاده قرار گرفته شده است. بیایید در اینجا r(t) را به عنوان نرخ کوتاه مدت و (t) را به عنوان نرخ طولانی مدت در نظر بگیریم سپس نرخ کوتاه مدت و طولانی مدت را به شکل زیر مدل سازی کنیم:
(2)
(3)
در اینجا dzr(t) و dz1(t) یک فرآیند wiener استاندارد میباشد. و به اندازه‌گیری قدرت بازگشت به نسبت سطوح میانگین و و و که همان تغییرات ناپایدار آنی در نرخ کوتاه مدت و بلند مدت میباشد، می‌پردازد.
اجازه دهید در اینجا pr(t) قیمت اوراق قرضه کوتاه مدت و pL(t) قیمت اوراق قرضه طولانی مدت باشد. چون قیمت و درآمد برای اوراق قرضه طولانی مدت باعث ایجاد تغییرات در نرخهای بهره نسبت به اوراق قرضه کوتاه مدت می‌شود بنابراین اوراق قرضه با نرخ سود طولانی مدت دارای قدرت ریسک بالاتری نسبت به اوراق قرضه کوتاه مدت میباشد از امتیاز استفاده از ریسک برخوردارند. بر این اساس، فرض می‌کنیم که درآمد مورد انتظار در اوراق قرضه طولانی مدت دارای نرخ کوتاه مدت به اضافه امتیاز ریسک میباشد بنابراین پویایی بهای آنها می‌شود.
(4)
(5)
در اینجا VL فراریت p1 (t) و در قیمت بازار در نرخ ریسک سود میباشد. توضیحات ارزش اوراق قرضه که در بخش فوق توضیح داده شد همسان با نظریه‌ی پاداش نقدینگی در مفهوم ساختاری است. این نظریه صعود در منحنی نرخ سود را پیش‌بینی می‌کند در حقیقت مدارک تجربی از داده‌های ایالات متحده آمریکا در چهل سال گذشته نشان می‌دهد که منحنی نرخ سود در اکثر مواقع دارای رشد صعودی بوده و تنها در اوایل دهه 1980 این منحنی حرکت نزولی داشته است. اگر ما دارای کسری در سرمایه‌گذاری باشیم W(t) ثروت در اوراق قرضه کوتاه مدت و الباقی 1-W(t) در اوراق قرضه طولانی مدت و W(t) ثروت پویا میباشد و در این حالت داریم:
(6)
با تعویض و از معادله‌ی (4) و (5) در معادله (6) و ساده کردن آنها ما خواهیم داشت: (7)
برای این مورد ما می‌خواهیم به تخصیص داراییهای یک سرمایه‌گذار میان اوراق قرضه کوتاه مدت و بلند بپردازیم بنابراین بار دیگر به این صورت بنویسم:
در معادله (1)
همین طور به شکل زیر:
(8)
چون در اینجا هیچگونه مصرف (خرید- فروش) انجام گرفته نشده و هیچ پولی به دارایی اوراق قرضه از زمان 0 و زمان T اضافه نشده معادله شماره (8) می‌تواند به شکل زیر ساده شود:
(9)
که با بسط دادن I[w+dw, r+dr, 1+d1, t+dt] به وسیله نظریه تایلدر و موقوف کردن آن به چهار استدلال به عنوان مثال (w,r,1,t) وI[w,r,1,t] برای ساده‌سازی بدست می‌آید:
(10)
تفاسیر داده شده برای dr, d1, dw در معادلات (2)و(3)و(7) ما داریم:
×××
با تعویض
×××
در معاله شماره (10) پس انتظار می‌رود که:
(11)
با جانشین‌سازی معادله‌ی (11) در معادله‌ی (9) و سپس ساده‌سازی، معادله‌ی بهینه‌سازی بلمن بصورت زیر ]16و10[ بدست می‌آید:
(13)
مفهوم Wr از معادله‌ی بهینه‌سازی بلمن حذف شده چون در اینجا از ابزار قدرت استفاده شده است. به عبارت دیگر نسبت بهینه‌سازی w(t) از ثروت w(t) مستقل است با ساده‌سازی معادله (13) می‌دهد:
(14)
در اینجا
×××
با شرایط نخست برای بالاترین مقدار در معادله (14) که برای بهینه‌سازی داراییها در w*(t)=w*[r,1,t] می‌باشند و در اوراق قرضه کوتاه مدت سرمایه‌گذاری شده است بصورت زیر بدست می‌آید:
فرمت این مقاله به صورت Word و با قابلیت ویرایش میباشد
تعداد صفحات این مقاله 14 صفحه
پس از پرداخت ، میتوانید مقاله را به صورت انلاین دانلود کنید
مقدمه:
دراین فصل مطالب ارائه شده در فصول گذشته را برای ارائه و تهیه مدل تصادفی مورد تحلیل قرار می‌دهیم. در این رابطه متغیرهای تأثیرگذار و مهم را در مدل بررسی کرده و می‌توان میزان خطرپذیری را با توجه به متغیرهای اطلاعاتی و نحوه بر هم کنش و اثر متقابل آنها تحلیل می‌کنیم.
ـ مدل تصادفی: تصمیمات استراتژیک
ما تلاش می‌کنیم عوامل تأثیرگذار در تصمیم‌گیری را برحسب متغیرها تهیه کرده و ارتباطات بین آنها را تعیین کنیم. تلاش‌ها در جهت ارائه و تکمیل مدل یکپارچه و پیشرفته است. این امر با درنظر گرفتن متغیرهای مهم و تأثیرگذار در چهار فهرست قابل ارائه است که این موارد دارای ویژگیهای مشترکی هستند. این موارد بشرح زیر هستند.
ـ ویژگیها و خصوصیات محیطی: این متغیرها مربوط به ماهیت ساختار هستند و بر چهارچوب سازمانی آن می‌توانند تأثیر داشته باشند.
ویژگیهای واحد «بخش» تصمیم‌گیری: متغیرهای زیادی در ارتباط با این موضوع وجود دارند که می‌توانند در فرآیند تصمیم‌گیری تأثیرگذار باشند.
ـ ویژگیهای اطلاعاتی: این متغیرها با ابعاد و مقادیر کمی ارتباط دارند که در این رابطه اطلاعات و سیستم اطلاعاتی مرتبط با آنان به‌گونه‌ای طراحی شده‌اند که بتوانند از فرآیند تصمیم‌گیری استراتژیک حمایت و پشتیبانی کنند.
90101 ویژگیهای محیط کاری «کاربردی»:
فرآیند انجام هر تصمیم‌گیری نمی‌تواند بدون وجود فضای کاربردی قابل پیاده‌سازی نیست. این فرآیند به منظور تحقق علاوه بر محیط پیاده‌سازی به عواملی نیز نیازمند است. مهمترین این موارد بشرح زیر هستند.
ـ محیط و فضای خارجی: تقاضا و درخواستها برای دریافت هر نوع خدمات می‌تواند سبب اعمال فشار و تنش بر محیط شود و بدنبال آن فضای بازار و شرایط حاکم برآن و میزان تقاضای مشتری تأثیر می‌پذیرند. در این رابطه برخی آژانسها و نمایندگی‌ها می‌توانند سبب تشویق و ترغیب فعالیتهای سازمانی و تحولات درون آن شوند.
ـ محیط سازمانی: درحین فرآیند سازمان‌دهی، چهارچوب کاری از جمله عوامل مهم و کلیدی در این رابطه هستند. میزان ارتباطات و بر هم کنشهای داخلی می‌توانند عملکرد حفاظتی و پشتیبانی از فعالیتهای مدیریتی را انجام دهد. اهداف و سیاستها برپایه محیط کاربردی و عملیاتی تعیین می‌شوند.
90102 ویژگیها و خصوصیات یک تصمیم ویژه
هر فرآیند تصمیم‌گیری استراتژیک برحسب ویژگیهای سازمانی تعیین می‌شود. این خصوصیت واحد و منحصر بفرد را می‌توان بصورت زیر طبقه‌بندی کرد:
1ـ ماهیت مشکل استراتژیک، این امر دارای 2 بخش است،
ـ مقیاس و وسعت مسأله بستگی به تصمیمات استراتژیک و ابعاد سازمانی دارد. این امر را می‌توان معمولاً برحسب میزان تأثیرگذاری منابع تعیین کرد. در این رابطه متغیر زمان و میزان در دسترس آن در تصمیم‌گیری از جایگاه ویژه‌ای برخوردار است.
ـ میزان پیچیدگی و تفاوتهای برپایه تعریفی که از یک مسأله استراتژیک ویژه صورت می‌گیرد تعیین می‌شود. در این رابطه خصوصیات و ویژگیهای محیط و شرایط کاری می‌توانند سریعاً ماهیت و محتوای تصمیم را تغییر دهند. نظر و عقیده مرتبط با آن می‌تواند از یک هفته تا هفته دیگر دچار تغییر شود. بازار می‌تواند در عرصه رقابت بین ارائه کنندگان محصولات می‌تواند در نرخ سرعت تغییرات اثرات قابل توجهی داشته باشند.
2ـ عوامل مربوط به تصمیم‌گیری می‌توانند در رابطه با هر نوع تصمیم استراتژیک تغییر کنند، باتوجه به تعداد متغیرها حالات و روشهای گوناگون قابل استفاده هستند و می‌توان در رابطه با هر موضوع چندین راه حل را ارائه داد. مثالهایی از این عوامل مهم بشرح زیر هستند.
ـ کیفیت تصمیم‌گیری در رابطه با سازمان.
ـ میزان قابلیت انحراف و اشتباه در هر بار تصمیم‌گیری
ـ گسترش و توسعه واحد تصمیم‌گیری از نظر تعداد اعضاء که می‌تواند نتایج قابل توجهی بدنبال داشته باشد.
ـ زمان و منابع مربوط که در یک فرآیند برای حل کردن یک مسأله بکار گرفته می‌شوند.
90103 ویژگیهای واحد تصمیم‌گیری:
ویژگیهای متنوع و گوناگونی در رابطه با واحد تصمیم‌گیری وجود دارند. این عوامل می‌توانند در سطوح مدیریتی گوناگون تأثیرگذار باشند، ورودی و خروجی فرآیند بشرح زیر است:
ـ مهارتها و کارآیی می‌تواند در مرحله اول انتخاب و فرآیند تصمیم‌گیری، تأثیرگذار باشند.
ـ مهارتهای فردی می‌تواند سبب شود که بهره‌برداری از امکانات بصورت بهینه انجام شود این منابع و امکانات می‌توانند در روش شناسی‌های بکار گرفته شده بصورت مناسب بکار گرفته شوند.
ـ مسیر ثبت اطلاعات مربوط به موفقیتهای قبلی و آسیب مربوط به آن می‌تواند در ارائه راه حل مؤثر و کارآمد واقع شوند.
ـ دو گروه مهم مربوط به این عوامل بشرح زیر است:
1ـ گروه یا فرد: تصمیمات استراتژیک شباهت زیادی به تلاش گروهی دارد، در این تصمیمات هدف نهایی بر نائل شدن به موفقیت در سازمانهای خاصی است. در این موارد فرآیند تصمیم‌گیری و قاعده‌مند کردن اطلاعات از ارزش قابل توجهی برخوردار است.
2ـ ویژگیها و خصوصیات فردی: دانش، مهارتها، تجربه و توانمندی‌ها می‌توانند در تصمیم‌گیری نقش تعیین‌کننده‌ای داشته باشند. این متغیرها بسیار ت؟أثیرگذار هستند. در بسیاری از حالات ویژگیها و حالات می‌توان گروهی از حالات را در نظر گرفت. به این شیوه می‌توان اثرگذاری ویژگیها بصورت مطلوب شکل داد.
ـ ویژگیهای اطلاعاتی:
اطلاعات می‌توانند ارتباط معقول و منطقی بین عوامل مختلف برقرار کنند و در واحد تصمیم‌گیری نقش مهمی داشته باشند. برخی از ویژگیهای مهم و تأثیرگذار بشرح زیر هستند.
ـ انواع و کیفیت اطلاعات مربوط به اطلاعات و نتایج موجود.
ـ کیفیت این اطلاعات.
ـ هزینه‌های افزایشی که می‌توانند سبب بهبود کیفیت و کمیت اطلاعات شوند.
اطلاعات می‌توانند در اطمینان به تصمیمات و نتایج آنها از نظر تفکرات داخلی و خارجی مهم و ارزشمند باشند. این عوامل در سیستمهای اطلاعاتی از جایگاه ویژه‌ای برخوردارند و می‌توان به کمک آنها مکانیسم‌های مربوط به ابزار و امکانات را تعدیل کرد.
ـ اثر متقابل ویژگیها و خصوصیات
چهار عنصر مهم و اصلی در رابطه با پیشرفت و تکامل چهارچوب کاری در مورد تصمیمات استراتژیک وجود دارد، باید بر اهمیت این عوامل تأکید کرد و بیان کرد آنها نباید بصورت مستقل بکار گرفته شوند بدین ترتیب با بهبود فرآیند، اقدامات مرتبط با آن دچار پیچیدگی بیشتری می‌شوند. در زمان تصمیم‌گیری باید بر اثر این عوامل در چهارچوب کاری و محیط تصمیم‌گیری توجه ویژه‌ای داشت. متغیرهای بسیار متنوعی وجود دارند که متأسفانه امکان دخالت آنها بصورت تمام و کمال وجود ندارد. همین‌طور برخی از آنها بدلیل پیچیدگی‌هایی که به همراه دارند برخی اوقات نادیده گرفته می‌شوند. در فرآیند تصمیم‌گیری، علاوه بر وضعیت فعلی باید وضعیت آینده و بعدی در نظر گرفته شود. این امر می‌تواند در مسیر پیشرفت و تکامل طرح و تغییرات بعدی بسیاری کارآمد ظاهر شود. در این زمینه انطباق و هماهنگی این متغیرها از جایگاه ویژه‌ای برخوردار است. نکته نهایی و مهم در این مدل مربوط به جهت‌گیری یکسان همه متغیرها و عوامل است. بکارگیری این دیدگاه می‌تواند توسط فرد تصمیم‌گیرنده، سبب کارآمدی تصمیم و تغییرات اعمال شده شود. استراتژی سازمانی که در همه موارد نقش کلیدی دارد، بوسیله برخی عوامل همواره محدود می‌شود. این امر سبب می‌شود تا تغییرات با روند و سرعت کمتری اعمال وند. تمایل در ایجاد تغییرات در جهت همگرایی عوامل مؤثر و افزایش ارتباطات بین آنها میباشد. مهمترین تاثیری که این عوامل می‌تواند بدنبال داشته باشند مربوط به دستیابی به کنترل کارآمد سیستم است. با اعمال اثر این متغیرها کارآمد می‌توان تاثیر تصمیمات اخذ شده را در محیط کاری خارجی بیشتر کرد.
ـ ارتباطات خطرپذیری با مدل
تعریف و توضیح خطرپذیری بصورت عمومی در یک مدل سبب بهبود مدل در همه ابعاد کاربردی آن می‌شود. مراحل نهایی مربوط به فرآیند تصمیم‌گیری و میزان تاثیر آن بر فرآیند مربوط در شکل 2ـ9 نشان داده شده است. در مواجه شدن با محیط کاری و سازمانی و در حالت تصمیم‌گیری، عدم قطعیت و خطرپذیری نقش تعیین‌کننده‌ای دارد. برخی از نتایج حاصله می‌توانند ناشی از تغییرات در شرایط محیطی باشند. بعنوان مثال تغییرات بعدی از نقطه‌نظر برخورد با مشتری و مصرف‌کننده و میزان استقبال او، به سختی قابل پیش‌بینی است. ویژگیهای یک تصمیم ویژه نظیر میزان پیچیدگی آن می‌تواند بر خطرپذیری طرح و تصمیم صورت گرفته اثرگذار باشد. ورودیها می‌توانند بصورت گروهی در فرآیند و نتایج حاصل تز آن اثر داشته باشند. سیستمهای اطلاعاتی در فراهم کردن سطح آگاهی و اطلاع قابل قبول برای تصمیم‌گیرنده از جایگاه ویژه‌ای برخوردارند. میزان اثر بخشی و کارآمدی هر فرایند تصمیم‌گیری با توجه به میزان خطر طرح ارائه شده تعیین می‌شوند. سه نتیجه نهایی را می‌توان در این حالت بدست آورد.
خطر واقعی = خطر در نظر گرفته شده
خطر واقعی ‹ خطر در نظر گرفته شده
خطر واقعی › خطر در نظر گرفته شده
پیچیدگی بیشتر مربوط به ماهیت‌گذاری خطرات است، این خطرات از میزان اثرگذاری در همه مقاطع زمانی دارای اثرگذاری یکسان نیستند. بنابراین در حالت پیشرفت و توسعه می‌بایست وارد گوناگون را در نظر گرفت. در محیط‌های سازمانی میزان خطرپذیری در بالاترین سطح درنظر گرفته نمی‌شوند.
نظریه و عقیده کلیدی و مهم در رابطه با استراتژی‌های سازمانی این است که دیدگاه و عملکرد همراه باید در راستای بهینه کردن فرآیند صورت بگیرند.
فرمت این مقاله به صورت Word و با قابلیت ویرایش میباشد
تعداد صفحات این مقاله 20 صفحه
پس از پرداخت ، میتوانید مقاله را به صورت انلاین دانلود کنید
کتاب احتمال آمار و فرایندهای تصادفی مهندسی برق آلرتو لئون گارسیا
فایل PDF به زبان انگلیسی و در 833 صفحه است.
نویسنده: Leon-Garcia
لینک پرداخت و دانلود *پایین مطلب*
فرمت فایل:Word (قابل ویرایش و آماده پرینت)
تعداد صفحه:67
فهرست مطالب
انتگرال تصادفی: (18)
نمونه هایی از زنجیره های مارکف
زنجیرهای مارکف همگن
) رفتارهای تصادفی یک بصری
انتگرال تصادفی: (18)
فرآیند x(t)، انتگرال پذیر MS است اگر
(5-39)
قضیه: فرآیند x(t) انتگرال پذیر MS است اگر (5-40)
نتیجه: (5-41)
فصل ششم: زنجیرهای مارکف:
فرآیندهای مارکف یک تعمیم ساده برای فرآیندهای مستقل است برای مجاز کردن وابستگی برآمد فاصله به یکی از برآمدهای قبلی که به برآمدهای قبل از آن وابسته نباشد. بنابراین در فرآیند مارکف x(t) گذشته روی آینده بی تاثیر است اگر وضعیت فعلی فرآیند مشخص باشد. یعنی اگر آنگاه: (6-1)
و اگر آنگاه:
حالت خاصی از فرآیندهای مارکف، زنجیر مارکف است. هر دو فرآیند و زنجیر مارکف تبه به اینکه فضای حالتشان گفته یا پیوسته است، می توانند گسسته یا پیوسته باشند.
تعریف: زنجیر مارکف با زمان گسسته یک فرآیند تصادفی مارکف است که فضای حالت آن مجموعه ای شمارا یا شما را نامتناهی بوده و در آن که تعداد Lxn نتیجه آزمایش n ام می نامند.
تئوری زنجیرهای پیوسته(زنجیرهایی با فضای حالت ناشما را یا شما را نامتناهی) بوسیله کلوموگروف آغاز و پل به وسیله دوبلین- دوب- لوی و بسیاری دیگر اولویت یافت.
احتمالات انتقال: (20)
احتمال تغییر وضعیت یک مرحله ای برابر احتمال شرطی است که به صورت زیر تعریف می شود:
(6-3)
احتمال تغییر وضعیت یک مرحله ای برابر احتمال رفتن از حالت I به حالت j در یک دوره زمانی با آغاز از n بیان می شود.
این نماد تاکید می کند که در حالت کلی، احتمالات انتقال نه فقط توابعی از وضعیت ابتدایی و انتهایی اند، بلکه به زمان انتقال نیز بستگی دارند.
تعریف، وقتی احتمالات انتقال یک مرحله ای از متغیر زمان( یعنی مقدار n) منتقل باشند، آنگاه گوییم فرآیند مارکف دارای احتمالات انتقال مانا می باشد. ماتریس مارکف یا ماتریس احتمال انتقال یک آرایه مربعی نامتناهی به صورت. می باشد که در آن سطر(i+1) ام توزیع احتمال مقادیر Xn+1 تحت شرط(Xn=i) است.
هر گاه تغییر حالتها متناهی باشد آنگاه P یک ماتریس مربعی متناهی است که مرتبه اش
( تعداد سطرها) مساوی تعداد حالتهاست. واضح است که Pij ما در شرایط زیر صدق
می کنند:
سطر فرآیندی با مشخص بودن تابع احتمال انتقال یک مرحله ای و X0(به عنوان حالت آغازین فرآیند) کاملا معین است زیرا طبق تعریف احتمالات شرطی، داریم:
(6-5)
و اگر فضای حالت متوالی نباشد یا فرآیند فضای حالت را به گونه ای متوالی طی نکند می توان گفت:
(6-6)
نمونه هایی از زنجیره های مارکف: (20)
1) زنجیرهای مارکف همگن: (18)
تعریف: یک زنجیر مارکف را همگن در زمان نامنداگر(m,n) Pij فقط به تفاضل n-m بستگی داشته باشد. و اگر این احتمالات انتقال به زمان بستگی داشته باشند آنگاه فرآیند را ناهمگن می گوئیم. اگر زنجیر همگن باشد، احتمالات تغییر وضعیت را مانا می نامیم و (6-7)
که نشان دهنده احتمال شرطی یک زنجیر مارکف همگن است زمانی که زنجیر در n مرحله از حالتi به حالت j می رود.
مدت زمانی که زنجیر مارکف همگن y صدف می کند در رسیدن به یک حالت(زمان رسیدن) باید بی حافظه باشد، زمانی که حالت فعلی برای تعیین آینده کافیست. بنابراین در حالت گسسته اگر زمانهای جاری tn به طور یکنواخت در tn=nt قرار بگیرند، y رابطه زیر را برآورد می سازد که y یک متغیر تصادفی هندسی است.
(6-8)
بنابراین مدتی که یک زنجیر مارکف گسسته زمان همگن در هر حالتی می گذارند یک توزیع هندسی است.
زنجیره های مارکف همگن(فضایی) را در دو حالت بررسی کرده و در هر حالت فرض می کنیم:
یک متغیر تصادفی گسسته با مقدار صحیح نامنفی باشد
همچنین و
مشاهداتی مستقل از باشند و همچنین فضای فرآیند مجموعه اعداد صحیح نامنفی است.
الف) فرآیند به ازای را در نظر می گیریم که با تعریف شده است. ماتریس آن به شکل زیر می باشد. یکسان بودن سطرها مبین آن است که متغیرهای تصادفی مستقلند.
ب) رده مهم دیگر از مجموعهای جزئی متوالی از ها ناشی می شود. یعنی:
(6-9)
فرآیند یک زنجیر مارکف بوده و ماتریس احتمال انتقال آن به صورت زیر حساب می شود:
(6-10)
که در این محاسبات از فرض استقلال استفاده شده است.
در حالت کلی ماتریس به صورت
البته می توان فضای حالت را با مجموعه اعداد و صحیح یکی کرد. زیرا در اینصورت ماتریس احتمال اتصال به شکل متقارن تری در خواهد آمد. در این صورت فضای حالت از مقایر ...و2+و1+و0و1-و2-و... تشکیل می شود و ماتریس احتمال انتقال به صورت زیر خواهد بود:
(6-11)
2) رفتارهای تصادفی یک بصری: (18)
رفتار تصادفی یک بعدی یک زنجیر مارکف است که فضای حالتش زیر مجموعه ای متناهی مانند a,a+1,a+2,…,b از اعداد صحیح است که در آن ذره، اگر در وضعیت ناباشد، می تواند با یک انتقال یا در نابماند و یا به یکی از وضعیتهای مجاور 1+ iو1-I منتثل شود. قدم زدن تصادفی یک رفتار تصادفی یک بعدی زیرا یک تجسم فرآیند مسیر شخصی که از خود بیخود شده است که به طور تصادفی یک قدم جلو یا عقب بر می دارد را توصیف می کند. در این فرآیند اگر فضای حالت مجموعه اعداد صحیح نامنفی گرفته شود ماتریس اتصال انتقال به شکل روبرو خواهد بود:
(6-12)
یعنی هر گاه Xn=I آنگاه به ازای
(6-13)
فرآیند قدن زدن تصادفی توصیف کننده حرکت ذرات منتشر شده نیز می باشد، هرگاه ذره ای تحت تصادمها و ضربه های تصادفی قرار گیرد، آنگاه موضوعش به طور تصادفی بالا و پائین می رود. در این حالت می توان همچون حرکت بروانی از رفتار تصادفی متقارن استفاده کرد. منظور از رفتار تصادفی متقارن بر اعداد و صحیح یعنی زنجیری مارکف با فضای حالت تمام اعداد صحیح که ماتریس احتمال انتقال آن دارای عنصر مقابل می باشد:
(6-14)
معمولا رفت تصادفی متقارن فقط به حالت P=1/2 , r=0 اطلاق می شود.
اگر در ماتریس احتمال انتقال فرآیند قدم زدن تصادفی ، وضعیت صفر مانند یک مانع انعکاسی عمل می کند. یعنی هر وقت ذره به حالت صفر رسید، انتقال بعدی خود به خود به حالت یک باز می گردد. اما اگر ، آنگاه صفر به صورت یک مانع جاذب عمل می نماید و ذره به محض رسیدن به صفر برای همیشه در آنجا می ماند و هر گاه ، آنگاه صفر یک مانع انعکاسی جزئی است.
مدل دیگری از قدم زدن تصادفی، قدم زدن تصادفی دایره ای با فضای حالت می باشد.
دو مقدار نهایی به یکدیگر گره زده می شوند تا حلقه ای ساخته شود که در آن بین قرار دارد.
قدم زدن تصادفی در این مسیر دایره ای شکل به گونه ای ادامه می یابد که هر حالتی یا به چپ و یا به راست منتقل می شود. این فرآیند را می توان با ماتریس انتقال N*N ای به صورت زیر نمایش داد.
(6-15)
کلی تر اینکه اگر همان امکان انتقال بین هر دو حالت وجود داشته باشد، آنگاه زمانی که k مرحله به سمت راست برویم همانند حرکت در N-K مرحله در سمت چپ است که ماتریس این انتقال به صورت زیر است:
که در آن
یک مدل مشهور دیگر در فرآیندهای قد زدن تصادفی مدل در نقش است. یعنی یک رفتار تصادفی بر مجموعه ای متناهی از حالتها که در آن حالتهای مرزی انعکاسی هستند.
رفتار تصادفی به وضعیتهای i=-a,-a+1,…,0,1,…,a با
ماتریس احتمال انتقال P محدود شده است که احتمالهای آن به صورت مثابل محاسبه شده است. (6-17)
رفتار تصادفی کلاسیک n بعدی به صورت زیر تنظیم می شود: فضای وضعیت مجموعه تمام نقاط شبکه صحیح در (فضای اقلیدسی n بعدی)است. یعنی، هر وضعیت یک n تایی k=(k1,k2,…,kn) از اعداد صحیح است و حالتهای انتقال آن به صورت زیر محاسبه می شوند.
مشابه حالت یک بعدی، رفتار تصادفی متقارن در نمایش صورت گسسته ای از حرکت براوانی nبعدی است.
3) زنجیر مارکف صف بندی گسسته: (18)
برای انجام کاری مشتریهادر صفی به نوبت می ایستند. اگر دست کم یک مشتری در صف باشد، در هر فاصله زمانی یک مشتری راه می افتد. اگر مشتریی در صف نباشد، در این فاصله هیچ کاری صورت نمی گیرد. در فاصله زمانی که کاری صورت می گیرد، ممکن است مشتریهای تازه ای وارد شوند.
فرض کنید تعداد واقعی افرادی که در فاصله زمانی nام وارد می شوند متغیر تصادفی باشد تابع توزیع آن مستقل از فاصله زمانی بوده و به صورت(6-19) ={k مشتری در یک فاصله زمانی وارد شوند} Pr است. همچنین فرض می کنیم ها از هم مستقل باشند. وضعیت دستگاه در شروع هر فاصله زمانی مساوی تعداد مشتریانی تعریف می شود که در صف منتظرند. هر گاه وضعیت فعلی ناباشد، آنگاه پس از گذشت یک فاصله زمانی وضعیت به صورت (6-20) خواهد بود.
که در آن len تعداد مشتریان تازه ای است که در فاصله رسیدگی به کار یک مشتری وارد شده اند.
پس می توان برحسب متغیرهای تصادفی فرآیند به طور صوری بیان کرد: (2-16)
که
ماتریس احتمال انتقال به صورت خواهد بود.
(6-22)
واضح است که اگر میانگین تعداد مشتریان تازه وارد یعنی که در یک فاصله زمانی سرویس داده می شوند از یک تجاوز کند، قطعا صف انتظار با گذشت زمان بدون حد و مرز طویلتر خواهد شد. از آن سو هر گاه آنگاه خواهیم دید که طول صف انتظار به یک وضعیت تعادل مانا نزدیک می شود و اگر ، یک حالت ناپایدار ایجاد می شود.
4) دنباله پیروزیها: (18)
یک زنجیر مارکف بر اعداد صحیح نامنفی با ماتریس احتمال انتقال به شکل (6-23) را در نظر بگیرید که در آن
در اینجا وضعیت صفر نقش قابل توجهی دارد به این صورت که می توان از هر وضعیتی به وضعیت صفر رسید حال آنکه فقط از وضعیت نا به وضعیت 1+ تا می رسیم. حالت خاصی از این ماتریس انتقال در پرداختن به دنباله پیروزیها در آزمایشات کلری که هر یک دو وضعیت پیروزی(s) یا شکست(F) را می پذیرد، حاصل می شود. این آزمایشها مستقل هستند پس فرآیند مارکف می باشد.
5) فرآیندهای شاخه ای: (18)
فرض کنید موجود زنده ای در پایان عمرش تعداد و تصادفی نوزاد با توزیع احتمال (6-24) تولید کند که در آن . همچنین تمام نوزادان مستقل از هم عمل می کنند و در آخر عمرشان نوزاد می خواهند دانست و بدین ترتیب نسلشان ادامه می یابد. فرآیند X(t) که در آن Xt اندازه جمعیت در نسل tام است یک زنجیر مارکف می باشد.
(6-25)
که در آن ها مشاهدات مستقل یک متغیر تصادفی هستند. در نسل nام، ناموجود مستقلا تعداد نوزاد تولید می کنند.
6) مدل انبارداری: (18)
کالایی برای برآوردن تقاضای مداوم انبار شده است. فرض می کنیم ذخیره سازی در زمانهای متوالی t1,t2,… صورت گیرد و کل تقاضا برای این کالا روی بازه متغیر تصادفی باشد که تابع توزیع آن مستقل از فاصله زمانی است:
(6-27)
موجودی انبار در آغاز هر فاصله زمانی بازرسی می شود. خط مشی انبارداری با مشخص کردن دو مقدار بحرانی نامنفی S>s,s از قبل مشخص می شود. این خط مشی به این صورت است که اگر موجودی انبار از s بیشتر باشد بلافاصله به آن اضافه می شود تا موجودی به سطح s برسد. اما اگر موجودی از s تجاوز کند چیزی به آن اضافه نمی شود. فرض می کنیم Xn موجودی انبار درست بیش از افزودن کالا در tn باشد. وضعیتهای فرآیند Xn عبارتند از مقادیر ممکن حجم موجود در انبار، s,s-1,…,+1,0,-1,-2… که در آن یک مقدار منفی به عنوان تقاضای بدون عرضه تعبیر می شود. که به محض تهیه کالا تحویل خواهد شد. طبق قوانین انبارداری میزان موجودی در دو فاصله متوالی با رابطه مقابل بهم مربوطند: (6-28)
که در آن کمیت مورد تقاضاست که در فاصله زمانی nام، مبتنی بر قانون احتمال ذکر شده بوجود می آید.
هر گاه ها دو به دو منتقل می باشد، آنگاه موجودیهای x0,x1,x2,… تشکیل یک زنجیر مارکف می دهد.
7) مدل ژنتیک: (18)
مدل ژنتیک ایده آل توسط اس.رایت معرفی شد تا نوسان فراوانی ژن براساس جهش و انتخاب بررسی می شود.
نتیجه a
نتیجه A
فرض کنید با جمعیت ثابتی از N2 ژن از نوع a و نوع A سروکار داشته باشیم. تشکیل نسل بعد به وسیله N2 در آزمایش دو جمله ای مستقل به شرح زیر انجام می شود، هر گاه جمعیت والدین مشتمل بر j ژن از نوع a و(n-j2) ژن از نوع A باشد، آنگاه نتیجه هر آزمایش به صورت مقابل است:(6-29)
یعنی: (6-30)
البته توجه کنید که وضعیتهای 0 و N2 کاملا جانیه به این معنی که هر گاه 0 یا N2،xn آنگاه به ازای هم ، 0 یا n2= Xn+k در یک مدل ژنتیکی دیگر می توان فرض کرد هر ژن از تعدادی اجزاء مثلا N جزء تشکیل شده است. وقتی سلول شامل ژن آماده تقسیم می شود، هر جزء دو برابر شده و هر یک از دو سلول شامل یک ژن با همان تعداد اجزاء مثل قبل می شود. گوئیم فرآیند در وضعیت نا است اگر از ناجزء با قابلیت جهش و(N-i) جزء نرمال تشکیل شده باشد احتمالات انتقال به صورت زیر قابل محاسبه هستند:
(6-31)
معادلات چپمن- کلوموگروف: (18)
تعریف: دنباله ای از حالتها که بوسیله آنها فرآیندی می تواند حرکت کند را مسیر فرآیند نامند.
از ویژگی مارکف نتیجه می شود که احتمال یک سیر، دقیقا برابر حاصل ضرب احتمالهای تغییر وضعیت یک مرحله ای است یعنی:
(6-32)
در بعضی موارد حالت آغازین زنجیر ثابت نبوده و یک متغیر تصادفی است. در این صورت تابع جرم احتمال X0(حالت آغازین) در محاسبه احتمالهای مسیرهای مختلف ظاهر می شود.
تابع احتمال در هر زنجیر مارکف Xt بوسیله معادلات چپمن- کلوموگروف پشتیبانی می شوند.
می توان با استفاده از رابطه(6-6) به یک رابطه کلی در همه زنجیرها رسید.
به ازای هر n>r>m داریم: (6-33)
ماتریس احتمال انتقال را با تبدیل رابطه P(m,n):P(m,r)P(r,n) وقتی که m<r<n و r=m+1,m+2,… به صورت(6-35)
P(m,n)=P(m,m+1)*P(m+1,m+2)*…*P(n-1,n) در نظر می گیریم.
بنابراین برای بدست آوردن P(m,n) به ازای هر n³m، کافیست ماتریس احتمال انتقال مرحله ای اول را بدانیم.
P(0,1) , P(1,2) , P(2,3) ,…, P(n,n+1),…
به ازای یک زنجیر مارکف همگن همه احتمالهای انتقال به صورت(6-36)
P(m,n)=Pn-m در می آید.
احتمالات انتقال n مرحله ای: (20)
تعریف: احتمال تغییر وضعیت K مرحله ای، به صورت زیر تعریف می شود:
(6-37)
این احتمال تغییر وضعیت برابر احتمال بودن در حالت jام، k دوره زمانی پس از بودن در حالت iام است. به دلیل اینکه فرآیندهای همگن سروکار داریم، احتمال تغییر وضعیت k مرحله ای به زمان n بستگی ندارد.
برای بدست آوردن عبارتی کلی برای احتمالهای تغییر وضعیت چند مرحله ای فهرستی از مسیرهای ممکنی که فرآیند در رفتن از i به j در چند مرحله می تواند دنبال کند را تصور کنید پس احتمالهای همه این مسیرها را محاسبه و با هم جمع می بندیم. پس داریم:
(6-38)
بویژه فرمول بازگشتی مرتبه اول مقابل را نتیجه می گیریم:
(6-39)
در نهایت، توزیع احتمال شرطی در t=nt با فرمول زیر بدست می آید:
(6-40)
و به طور کلی داریم: (6-41) که
و برای یک زنجیر همگن داریم: (6-42) P(n)=P(0)Pn
قضیه: احتمالهای تغییر وضعیت n مرحله ای فرض بر این است که حالت آغازین معلوم است. وقتی حالت آغازین متغیری تصادفی باشد، از محاسبات ماتریسی نیز می توان برای یافتن احتمالها استفاده کرد.
هر ماتریس احتمال انتقال N*N دارای N مقدار ویژه می باشد. فرض می کنیم این مقادیر ویژه ساده مجزا و مخالف صفر هستند.( اگر چه که صفر هم می تواند مقدار ویژه باشد). فرض کنی() ,N … ,2 ,1=I تا نشان دهنده N زوج(بردار ویژه، مقدار ویژه) برای P است. بنابراین (6-43)
که در آن ماتریسی مربعی و
به طوریکه uiها، I=1,…,N بردارهای ستونی مستقل خطی u,N*1 یک ماتریس تا تکین N*N است.
از فرمول(6-43) داریم: (6-44) یا که
که K=1,2,…,N,Uk، نشان دهنده k امین بردار سطری است. بنابراین
(6-45)
از( 6-44) داریم: (6-46) یا
با جمع بستن فرمولهای قبل به ازای هر مقدار ویژه ، بردارهای دو مجموعه از N معادله خطی به صورت مقابل بدست می آید:
(6-49) (6-48)
برای بدست آوردن مقدار ویژه به ازای k=1,2,…,N معادله(6-50) حل می کنیم.
به ازای هر ، بردارهای ترکیبی را می توان از فرمولهای فوق بدست آورد.
از(6-45) می توان نوشت:
(6-51)
در نهایت با داشتن داریم: (6-52)
اگر یکی از مقادیر ویژه P صفر باشد( با تکرار) با قرار دادن ، نمایشفوق به ازای هم n³1 معتبر خواهد بود.
و برای n=0 مقدار ویژه صفر در ثابت اضافه قرار می گیرد. بنابراین مجموع N-1 مجله در(6-52) برای n³1 است اگر P مقدار ویژه صفر را داراست.
تکرار مقادیر ویژه: (18)
فرمول(6-52) با فرض اینکه همه مقادیر ویژه P مجزا گرفته شد. اگر چه بعضی از مقادیر ویژه P می توانند تکرار شوند حتی با تکرارهای پیش از یکبار فرض کنید مقدار ویژه Ai با تعداد تکرار i=1,2,…,k,ri³1 رخ می دهد بنابراین یعنی مجموع تعداد تکرارهای مقادیر ویژه برابر بعد ماتریس P می باشد. در این حالت P دارای نمایش قانونی ژوردان است که (6-54)
و
ماتریس مربعی
(6-46) از(6-44) نتیجه می شود به طوریکه:
و
(6-56) (6-55)
بنابراین در تعمیم حالت ریشه های تکراری فرمولهای فوق را داریم که تونلهای نشان دهنده تعمیم مقادیر ویژه P در(6-44) هستند. زنجیر مارکف ارگودیک: (20)
اگر چه نشان دهنده احتمالهای شرطی است ولی می توانیم با مشروط کردن روی حالت اولیه، احتمالهای غیرشرطی را نیز بدست آوریم:
(6-57)
در زنجیرهای طویل مارکف، مقدار وقتی به مقدار (برداری سطری که در ایه های آن برای تمام حالتهای ممکن از احتمالهای به شکل Pr{Xn=s} تشکیل شده است)، که فقط به j بستگی دارد، همگرا می شود. یعنی برای مقادیر بزرگ n احتمال اینکه بعد از n تغییر وضعیت در حالت j باشیم بدون وابستگی به حالت اولیه، تقریبا برابر با است.
برای اینکه یک زنجیر مارکف دارای چنین خاصیتی باشد کافیست که برای n>0 و هم i,j=0,1,…,m داشته باشیم زنجیرهای مارکفی که در خاصیت چپمن- کلوموگروف داریم، (6-58)
پس وقتی که یعنی در زنجیرهای مارکف ارگودیک داریم:
بعلاوه چون (6-59) است پس برای داریم (6-60) و در حقیقت می توان نشان داد که کمیت همچنین به طور حدی برابر است با نسبت مدت زمانی که زنجیر مارکف در حالت j(j=0,1,…,m) قرار دارد.
برای مشاهده این واقعیت فرض کنید Pj نشان دهنده نسبت حدی مدت زمانی باشد که زنجیر در حالت j قرار دارد. از آنجایی که نسبت مدت زمانی که زنجیر در حالت k است برابر با Pk می باشد و همچنین وقتی که زنجیر در حالت K باشد با احتمال Pkj به حالت j می رود، بنابراین نسبت زمانی که زنجیر مارکف وارد حالت j می شود برابر با Pkj Pk است.
با جمع بستن روی همه مقادیر x می توان نشان داد که نسبت زمانی که زنجیر مارکف وارد حالت j می شود(Pi) از رابطه (6-61) بدست می آید.
رده بندی حالتهای یک زنجیر مارکف: (20)
گوئیم وضعیت j در دسترس وضعیت I است اگر به ازای عددی صحیح مانند یعنی وضعیت j در دسترس وضعیت i است اگر بتوان با احتمال مثبتی در تعدادی متناهی انتقال از وضعیت i شروع و به وضعیت j رسید.
تعریف: هر وضعیت i و j را که در دسترس یکدیگرند مرتبط می نامیم و می نوشتیم،
هر گاه دو وضعیت j,i مرتبط نباشد آنگاه به ازای هر
تمام وضعیتهایی که با هم مرتبط هستند در یک رده هم ارزی قرار می گیرند. ممکن است از رده ای شروع کنیم و با احتمال مثبت وارد رده ای دیگر شویم. اما واضح است که
نمی توان به رده اولیه بازگشت، والا دو رده با هم یک رده را تشکیل می دهند.
تعریف: گوئیم زنجیر مارکف تحویلناپذیر است اگر رابطه هم ارزی فقط یک رده هم ارزی داشته باشد. به عبارت دیگر فرایندی تحویلناپذیر است که تمام وضعیتهایش با هم مرتبط باشند.
برای مثال در قدم زدن تصادفی و همچنین قدم زدن تصادفی دایره ای هر حالتی در دسترس حالتهای دیگر است.
تعریف: اگر c یک مجموعه از حالتها باشد به طوریکه از حالتهای خارج c نتوان به حالتهای c رسید آنگاه c را یک مجموعه بسته نامند. بنابراین اگر c یک مجموعه بسته باشد و اگر آنگاه –Pij=0 در این حالت چون همیشه یکی از حالتها صفر است، این مجموعه همواره برابر صفر می باشد و در حالت کلی ، بنابراین هیچ حالتی خارج c نمی تواند به حالتی در c برسد در هر تعداد انتقالها. مجموعه بسته c می تواند تک عضوی یا چند عضوی باشد.
اگر i یک حالت جاذب باشد آنگاه . اگر سیستم وارد حالت جاذب شود، نمی تواند از آن خارج شود. در یک زنجیر مارکف و ماتریس احتمال متناظرش که تحویلناپذیر هستند هیچ مجموعه بسته ای به غیر از مجموعه تمام حالتها وجود ندارد.
در یک زنجیر با فضای حالتهای(1,2,3,…,n,…) فرض کنید زیر مجموعه حالتهای(1,2,…,r) را از مجموعه بسته c در نظر بگیرید. بنابراین ماتریس سمت چپ بالایی در P در خود یک ماتریس تصادفی است و ما می توانیم P را به صورت مقابل نمایش دهیم: (6-62)
که W,u ماتریس های مربعی و Pij=0 هر گاه متعلق به متمم c باشد. پس
(6-63)
که اگر اما . از این گذشته می تواند نشان دهنده این باشد که اگر j,i هر دو عضو c باشند احتمالهای انتقال با جمع بستن روی فقط مجموعه بدست
می آید. برای همه این مطالب صحیح است البته در صورتی که j,i هر دو عضو متمم مجموعه c بوده و جمع نیز متمم c بسته شود.
به عنوان مثال ماتریس 7*7 روبرو را بررسی می کنیم به طوریکه همه aij>0 نشان دهنده احتمالهای ثبت هستند.
چون 24a و 23a تنها عوامل غیرصفر سطرهای دوم و سوم هستند. 24a=33a=1 و حالت 3 جاذب است.
از حالت 2 می توان به حالت 4 و از حالت 4 به 2 یا به خودش رسید بنابراین{4و2} یک مجموعه بسته است.
به طور مشابه از 1 به 5 و 7 و از 5 به 7و1 و همچنین از 7 به 1 و 5 و 7 می توان رسید، در نتیجه{7و5و1} مجموعه بسته است از حالت 6 می توان به هر 7 حالت رسید.
تناوب زنجیر مارکف: (20)
تعریف: دوره تناوب وضعیت i، که به صورت نوشته می شود، عبارت است از بزرگترین مقسوم علیه مشترک(ب.م.م) تمام اعداد صحیح n³1 که به ازای آنها
اگر به ازای هر تعریف می کنیم d(i)=0 در یک زنجیر مارکف n حالتی با ماتریس احتمال انتقال روبرو هر وضعیت دارای دوره تناوب n است.
قضیه: هر گاه آنگاه d(i)=d(j) (6-64)
یک حکم نشان می دهد که دوره تناوب در هر رده وضعیتهای مرتبط ثابت است.
به عبارتی دیگر حالت j را متناوب با دوره تناوب T گوئیم هر گاه بازگشت به این حالت فقط در لحظات T، T2، T3،… امکان پذیر باشد. یعنی به ازای هر حالتمان نامتناوب است اگر T>1 وجود نداشته باشد.
برای مثال در مدل قدم زدن تصادفی نامقید و مدل قدم زدن تصادفی دایره ای همه حالتها دارای دوره تناوب 2 هستند.
قضیه: هر گاه حالت iدارای دوره تناوب d(i) باشد، آنگاه عددی صحیح مانند N وابسته به i هست به طوری که به ازای هر عدد صحیح n³N داریم، (6-65)
این قضیه حکم می کند که بازگشت به وضعیت i می تواند در تمام مضارب به قدر کافی بزرگ دوره تناوب d(i) رخ دهد.
قضیه: هر گا