محاسبات عددی یا آنالیز عددی (Numerical analysis) به تنظیم، مطالعه، و اعمال شیوه‌های تقریبی محاسباتی برای حلّ آن دسته از مسائل ریاضیات پیوسته (در مقابل ریاضیات گسسته) می‌پردازد که با روش‌های تحلیلی و دقیق قابل حلّ نیستند. برخی از مسائل مورد نظر محاسبات عددی به طور مستقیم از حسابان می‌آید. جبر خطی عددی (بر روی میدان‌های حقیقی یا مختلط) و نیز حلّمعادلات دیفرانسیل خطّی و غیر خطّی مربوط به فیزیک و مهندسی از جملهٔ زمینه‌های دیگر برای کاربرد محاسبات عددی‌ست.
تاریخچه
از آثار مکتوب به‌جامانده چنین برمی‌آید که گویا نخستین رساله در حساب به معنی امروزی را محمد بن موسی الخوارزمی نوشته است. آوازهٔ وی چنان در اروپا پیچید که واژهٔ الگوریتم را (که از الخوارزمی گرفته شده است) بر روش‌های حل مسئله در محاسبات عددی نهادند.
با پیشرفت رایانه‌ها نیاز به حل مسایل ریاضی به روش عددی بیش از پیش احساس شد. در این هنگام کارایی روش‌هایی که از قبل توسط نیوتون و اولر ارایه شده بود نمایان شد. ریاضی‌کارها و دانش‌گرهای دیگر نیز در این راه پا گذاشتند و روش‌هایی کاراتر ارایه دادند. به این ترتیب محاسبات عددی شکل نوین خود را یافت.
معرفی
تعدادی از مسائل ریاضیات پیوسته دقیقا با یک الگوریتم حل می‌شوند که به روش‌های مستقیم حل مسئله معروف‌اند. برای مثال، روش حذف گوسی برای حل دستگاه معادلات خطی، و نیز روشسیمپلکس مورد استفاده در برنامه‌ریزی خطی را می‌توان ذکر نمود. در مقابل، برای بسیاری از مسائل روش حل مستقیم وجود ندارد و باید از روش‌های دیگری مانند روش تکرارشونده استفاده شود.
برآورد خطاها
تخمین خطاهای موجود در حل مسائل از مهم‌ترین قسمت‌های محاسبات عددی است این خطاها در روش‌های تکرارشونده وجود دارد چون به هرحال جواب‌های تقریبی به‌دست آمده با جواب دقیق مسئله، اختلاف دارد و یا وقتی‌که از روش‌های مستقیم برای حل مسئله استفاده می‌شود خطاهایی ناشی از گرد کردن اعداد به‌وجود می‌آید. در محاسبات عددی می‌توان مقدار خطا را درآخر روش که برای حل مسئله به کار می‌رود، تخمین زد.
کاربردها
الگوریتم‌های مربوط به محاسبات عددی در حل بسیاری از مسائل موجود در علوم و مهندسی مورد استفاده قرار می‌گیرد. به عنوان مثال:
- تحلیل و طراحی سازه‌هایی همچون پل‌ها، سدها، و هواپیماها
- هواشناسی مثلا پیش‌بینی آب و هوا، و تهیه نقشه‌های جوی از زمین
- تجزیه و تحلیل ساختار مولکول‌ها
- پیدا کردن مخازن
همچنین اکثر ابررایانه‌ها به طور مداوم بر اساس الگوریتم‌های محاسبات عددی برنامه‌ریزی می‌شوند. به طور کلی محاسبات عددی از نتایج عملی حاصل از اجرای محاسبات برای پیدا کردن روش‌های جدید برای تجزیه و تحلیل مسائل استفاده می‌کند.
فهرست مطالب:
مقدمه
مشتق گیری عددی
چندجمله ای درونیاب
محاسبات و روابط
مثال
تشکیل جدول تفاضلات
مشتقات مراتب بالا
مثال
انتگرال گیری عددی
قاعده ذوزنقه
فرمول قاعده ذوزنفه
فرمول قاعده ذوزنقه مرکب
مثال
قضیه
نتیجه
مثال
قاعده سیمپسون
فرمول قاعده سیمپسون
قاعده سیمپسون مرکب
مثال
خطای (S(h
مثال
قاعده نقطه میانی
فرمول قاعده نقطه میانی
مثال
خطای قاعده نقطه میانی
مثال
قاعده های دقیقتر
روش نیوتن-کوتز
روش ضرایب مجهول
روش گاوس
فرمول قاعده دونقطه ای گاوس
مثال
این فایل حاوی مثال های حل شده متعدد نیز می باشد.
پاورپوینت کامل و جامع با عنوان روش های مشتق گیری عددی و انتگرال گیری عددی در 81 اسلاید