تحقیق در مورد انتگرال

اختصاصی از فی فوو تحقیق در مورد انتگرال دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

لینک پرداخت و دانلود *پایین مطلب*

فرمت فایل:Word (قابل ویرایش و آماده پرینت)

تعداد صفحه:26

فهرست مطالب ندارد

به نام خدا

محاسبه انتگرال

مشتق و انتگرال دو مفهوم فردی از محاسبه هستند. بکس که ممکن است مشتق را تعریف کند ، از یک تابع  شیب منحنی رسم شده با آن تابع است.

تعریف تشابه انتگرال  منطقه  زیر یک شیب تابع  است. بنابراین انتگرال‌ها مفیدترین ابزار برای پیدا کردن منطقه زیر منحنی هستند.

آنها برای تعیین ارزش سود انتظار و متغیر پایه در توزیع احتمال استمراری مفید هستند همچنین اپراتورها برای جمع تعدادی از چیزهای قابل شمارش استفاده می‌شود.

انتگرال برای اجرای جمعی از چیزهای نامحدود غیر قابل شمارش استفاده می‌شوند.

محاسبات انتگرال همچنین برای آنالیز رفتار متغیر در طول زمان مفید است (مانند cash flow)

یک تابع  شناخته شده عنوان معادله مختلف ممکن است سرعت تغییرات پایه  را در محول زمان تعریف کند.

به طور مثال  ممکن است تغییر در ارزش یا سود سرمایه گذاری را در طی زمان تعریف کند هنگامی که  ارزش واقعی را فراهم می‌کند.

انتگرال بسیاری از توابع می‌تواند با استفاده از مراحل ضد مشتق گیری تعریف شود.

هنگامی که مراحل مشتق گیری است. اگر  تابعی از x باشد که مشتق آن برابر  باشد پس با  ضد مشتق گفته می‌شود یا انتگرال  که اینگونه نوشته می‌شود.

علامت انتگرال برای مشخص کردن ضد مشتق از انتگرال  استفاده می‌شود.

انتگرال نامحدود با  تعریف می‌شود.

ادامه دلالت می‌کند با معادله 9.1

تابع  را در نظر بگیرید. تابع برای  مشتق  است.

ضد مشتق  است. ضد مشتق  است.

بنابراین  مشتق  تابع اصلی  است. imply که  ضد مشتق  است. ثابت انتگرال x باید شامل ضد مشتق باشد بنابراین همه توابع می‌توانند ضد مشتق  باشند.  برای محاسبات ضد مشتق بسیار مهم است که با هر کدام از احتمال ارزش k ثابت منطبق گردد.

در ادامه قوانینی هستند که انتگرال نامحدود را محاسبه می‌کنند (جایی که k ثابت ارزش واقعی است)

معادله 3. 9 قانون چند جمله‌ای برای پیدا کردن مشتق است.

جای که k یک ثابت است.

4-9

5-9

6-9

قانون داده شده با معادله 6-9 برای بسیاری از مدل‌های رشد مفید است.

قانون داده شده برای ارزش زمانی و مدل ارزشی به طول منظم مفید است.

7-9

بقیه قانون‌ها در پیوست 9.A فراهم شده‌اند.

Back ground readis

تابع y = f(m) را در نظر بگیرید. فرض کنید ما می‌خواهیم منطقه زیر منحنی ارائه شده با این تابع را در طول دامنه از x=a تا x=b پیدا کنیم.

حد پایین از انتگرال a گفته می‌شود حد بالای انتگرال b گفته می‌شود.

ما اول نشان خواهیم داد چگونه منطقه زیر منحنی را با نمایش یک روش مشابه به یک پیشنهاد با Archime ریاضی دان مصری در قرن سوم B.C.E پیدا کنیم.

این روش با BR در اول 800 او فرموله می‌شود و هم اکنون به مورد نظر برای ارزیابی کامپیوتر پایه از انتگرال مفید است جمع Reimen همچنین برای ارزیابی انتگرال تابع برای ضد مشتق‌هایی که وجود ندارند بیشتر مفید می‌شود.

تابع  را در نظر بگیرید فرض کنید که ما می‌خواهیم منطقه زیر منحنی ارائه شده با این تابع را در طی دامنه از x=0 تا x=1 پیدا کنیم.

روش مجمع Reimar منطقه زیر منحنی را به تعدادی مستطیل تقسیم می‌کند.

که در شمل 1-9 نشان داده می‌شود. اطلاعات شکل 1-9 در جدول 1-9 رسم شده است این منحنی به قسمت‌های از پهنای تقسیم می‌شود. ارتفاع هر مستطیل  است.

پیدا کردن منطقه زیر منحنی با استفاده از جمع  هنگامی  جمع منطقه‌ای از ده مستطیل برابر 5/1 است.

همچنین جمعی از مستطیل تقریبا نامحدود هستند. و پهنای آن نزدیک صفر است. جمع منطقة نزدیک  ارائه شده که  بنابراین منطقه هر مستطیل  است. شباهت Reimon برای منطقه در دامنه از  تا  بر مبنای 10 مستطیل

توجه کنید که مناطق مستطیل در شکل a.1 به طور دقیق با منطقه منحنی که آنها هدف ؟ هست دارند برابر نیست. تخمین‌های بهتر از منطقه زیر منحنی افزایش بسیاری از مستطیل بدست آورد هنگامی که پهنای آن کاهش می‌یابد ما این کار را تا جایی ادامه خواهیم داد که تعدادی از مستطیل‌ها به اندازه کافی برای فراهم کردن سطح دقت مستطیل بزرگ باشند. به طور عمومی بیشتر مستطیل‌های با پهنای تنگ منتهی به تحسین انتگرال درست می‌شود.

روش جمع Reimen نیاز دارد که ما منطقه از مستطیلn پیدا کنیم.

هر کدام از این مستطیل‌ها را که به طور مداوم تنظیم می‌شود. پهنای  را خواهد داشت پهنای مستطیل  نزدیک صفر خواهد بود به عنوان تعدادی از سیگنال‌های که تقریب نامحدود هستند پهنای مستطیل  خواهد بود جایی که x تعدادی از ارزش بین  (اینجا ما فرض می‌کنیم ) است.

برای بدست آوردن بهترین تخمین منطقه- مخور افزایشی، تعدادی از این مستطیل‌ها زیر منحنی به طور نامحدود می‌رسد و پهنای هر کدام از این مستطیل‌ها صفر خواهد شد (نه خیلی مساوی)

منطقه هر کدام از این مستطیل‌ها (جایی که محصول ثبت است)

به طور ساده محصول ارتفاع و پهنا است.

8-9          

بنابراین منطقه از یک توسعه از x=b تا x=a زیر مستمر می‌تواند پیدا شود با استفاده از انتگرال معین از انتگرال از x=a x=b با ادامه :

9-9        

سمت راست از 9-9 جمع Reiman است. پهنای هر مستطیل برابر  است و ارتفاع هر مستطیل برابر معادله  است.

ما می‌توانیم جمع Reiman را برای پیدا کردن منطقه زیر منحنی در مثال ارائه شده بالا برای ادامه استفاده کنیم.

از معادله b-a هر  مساوی  خواهد بود و ما بدست می‌آوریم.

بعد، ما توجه کنیم نخستین ارزش xk ما مساوی صفر است و ارزش هر xi مساوی  است. جایی که واحدهای ما افزایش هستند  هستند.

محاسبه گر i تعدادی از محاسبات افزایشی را که برای برخی نکات در مجموع ارائه می‌دهد. که قادر است نشان دهد به صورت

نتایج سری‌ها در معادله‌ی مشهور است و ممکن است با اقتباس (القام تغییرکند)

نتایج این سری‌ها برای ساده سازی معادله c بکار می‌رود.

بنابراین از آنجایی که n به  متمایل می‌شود. این راحت است که ببینیم منطقه زیر منحنی توسعه یافته از x=0 تا x=1 نزدیک  است.

استفاده از جمع Reiman برای تعیین منطقه دقیق زیر منحنی در طی منطقه تعریف شده شامل جمعی از منطقه از تعدادی نامحدود از مستطیل با پهنای نامحدود که (lie) در این منطقه ما این منطقه زیر منحنی‌مان را محاسبه کرده‌ایم و توانستیم بسیاری precisely به خاطر اینکه می‌توانستیم به آسانی دو سری نامحدود را simplify.

این مراحل می‌تواند بسیار وقت گیر باشد، یا باید  (serve) به عنوان شباهت محدود هنگامی که مراحل نتواند (simplified). دیگر آنکه با جمع منطقی تعداد زیادی محدود می‌توانند این سطح را فراهم کند و می‌تواند معنی مفید برای بدست آوردن ارزش تعدادی برای انتگرال باشد.

این وقت پذیرفته شده به طور منظمی درست است هنگامی که انتگرال ارزشیابی می‌شود و مرز مشتق ندارد. ما بحث خواهیم کرد ارزیابی (spreal shat) انتگرال در پیوست 3-9

خواندن این پیوست می‌تواند بسیار مفید باشد برای  فهم درخواست جمع Reiman

3-9 انتگرال طی مختلف و مناطق

دیگر آنکه، روش‌های زیبای دیگر برای ساختن انتگرال استفاده می‌شود از orem پایه از محاسبه انتگرال بر پایه یک بینش درخشان با ؟ این نکات با این داده بیان می‌شود اگر  تابع باشد با دامنه  و ضد مشتق از  ادامه باید نگه داری شود.

بنابراین ما باید از تئوری پایول برای محاسبه انتگرال برای پیدا کردن منطقه زیر انتگرال تابع  استفاده کنیم با استفاده از ضد مشتق که داده شده

توجه کنید که ثابت انتگرال x کنسل شده است. به محور ضروری، ما ضد مشتق از توابع مال از (0) یا a را پیدا کردیم. پس از ضد مشتق از تابع b(1) کم ؟ :

تابع  را در نظر بگیرید. که در شکل 2-9 ارائه شد.

فرض کنید ما می‌خواهیم منطقه بین منحنی و ستون افقی را دره می‌داند.

 پیدا کنید. دوباره ما ممکن است از تئوری پایه‌ای از محاسبه انتگرال برای پیدا کردن منحنی با استفاده از ضد مشتق که در ادامه آورده شده استفاده کنید.

منطقه بین این منحنی و ستون افقی از منطقه زیر منحنی را ؟ می‌کند.

اما بالای ستون افقی در طول دامنه x=3 یا x=0 مساوی 10 است.

1. pplication 9.1 cumpulative densities

یک تابع چگالی احتمال یک مدل تئوری برای توزیع فرکانس است. (چگالی در x*)

dx ممکن است regarded می‌تواند به عنوان احتمالی که متغیر تصادفی است x lies بین x2+dx و x به فرض این که dx=0 بنابراین (in asense) تابع چگالی ممکن است در احتمالی p (xi) که با یک متغیر تصادفی است که xi دقیقا تساوی ثابت x* باشد استفاده شود.

بنابراین بسیار مهم است که توجه ؟ s به خاطر اینکه متغیر تصادفی احتمالی xi ممکن است هر کدام از این متغیر پتانسیل نامحدود را فرض کند.

احتمال که فرض تابع هر ارزش منظم و دقیق x* نزدیک صفر است.

توزیع احتمال است که p(x) ممکن است برای تعیین احتمال اینکه متغیربه طور تصادفی توزیع می‌شود کاهش یابد در طی دامنه داده شده یا زیر یک ارزش داده شده.

در طی اینکه توزیع احتمال است که استفاده می‌شود با کارگران توزیع نرمال هستند.

توزیع یونیورم توزیع گاما

یک پتانسیل p (x) می‌تواند محاسبه شود به عنوان تابع توزیع متفاوت p (x) که تدر زیر داده است.

این به این مطلب اشاره می‌کند که تابع توزیع را p(x) ممکن است از تابعخ چگالی پیدا شده باشد.

یک تابع چگالی خیلی ساده را در نظر بگیرید.   برای یک متغیر توزیع شده تصادفی منظم xi

از این تابع چگالی، ما می‌توانیم یک تابع توزیع با استفاده از انتگرال که همه شده بدست آوریم.

توجه کنید که   برای همه xها چیزی که انتظار می‌رود برای هر تابع چگالی از صفر یا 1. مثال : فرض کنید که پتانسیل تصادفی  برای ؟ داده شده انتظار می‌روند برای دامنه 25% تا 0 فروض بیشتر که پتانسیل چرخشی (track) توزیع متغیر تصادفی ؟ xi که تابع توزیع احتمال با معادله A داده شده از 0 تا 1 دامنه بندی می‌شود به ویژه، چرخش سرمایه re=f(x)=0/25x تا 25% ارزش این متغیر تصادفی توزیع شده است این ذخیره چرخشی باید همیشه 25% از سطح یک متغیر تصادفی باشد. ما می‌توانیم از انتگرال نامحدود برای تعیین احتمال اینکه متغیر تصادفی xi کمتر از x است. این احتمال یکسال خواهد بود برای ri زیر x225/0 باشد. تابع توزیع برای متغیر تصادفی به سادگی تابع چگالی جمع شونده می‌شوند.

برای مثال، ما تعیین می‌کنیم احتمال اینکه xi کمتر از 5/0 خواهد شد و ri کمتر از 125/0 خواهد شد ؟ زیر

توجه کنید که حد پایین انتگرال صفر است به خاطر اینکه تابع چگالی غیر صفر است فقط بیشتر از فاصله صفر یا 1 است. بنابراین، احتمال 50% وجود دارد که  کمتر از 5/0 باشد که  کمتر از 25/0 باشد.

ما همچنین می‌توانیم که انتگرال معین برای تعیین کردن احتمال که متغیر تصادفی 0 در طی دامنه مشخص کاهش پیدا کند. برای مثال، ما می‌توانیم انتگرال تابع چگالی p(x) را برای داخلی از 2/0 تا 5/0 برای تعیین احتمال اینکه xi کاهش پیدا خواهد کرد 1/2/0 تا 5/0 (که  دامنه یابی می‌شود از بین (25/0 تا 5/0)

احتمال اینکه چرخش دامنه یابی خواهد شد از این 5/0 تا 125/0 همچنین مساوی 396/0 است.

ما می‌توانیم به آسانی تعیین کنیم که احتمال اینکه xi کاهش پیدا کند بین 4/0 و 1/0 است.

(و احتمال اینکه ri کاهش پیدا کند 1% و 2% است)

تابع چگالی عادی مفیدترین تابع چگالی شده است.

جایی که  پارامترهایی هستند که s معنی و استاندارد (deviation) از متغیر تصادفی x را ارائه می‌دهد. بدبختانه، راه حل فرم باز شده برای انتگرال داده شده وجود دارد (به پیوست 9.A)

جمع polynomial , Reiman اغلب برای ارزیابی این انتگرال ساخته می‌شود (به پیوست 9.B توجه کنید)

APPLICATION 9.2 : EXPECTED VALUE AND VARIANCE

ارزش مورد انتظار و واریانس برای توزیع احتمال در شخصیت سازی خیلی مفید هستند، متغیر تصادفی، و توابع بر پایه متغیر تصادفی هستند. برای مثال ما ادامه خواهد داد تا از تابع چگالی از درخواست برای  هر جای دیگر انتگرال را از تابع چگالی برای ایجاد ارزش مورد انتظار واریانس برای تغییر توزیع شده تصادفی و ذخیره ارزیابی می‌کنیم که چرخش آن متغیر تصادفی را (track) برای پیدا کردن چرخش مورد انتظار، استفاده از تابع چگالی برای اندازه گیری چرخش تصادفها r استفاده می‌شود.

برای  هر جای دیگر توجه کنید که تشابه بین برای تابع ؟ ، که بیشتر برای discrete احتمال تابع استفاده کردیم. فرض کنید که ثابت انتگرال مساوی صفر است.

انتگرال نامحدود از چگالی احتمال برای r برای داده‌ها تعیین می‌شود.

ارزش مورد انتظار از این متغیر تصادفی r طبق مرحلة زیر تعیین می‌شود.

بنابراین، چرخش مورد انتظار برای این امنیت برابر 125/0 است.

واریانس از چرخش‌ها برای یک ذخیره مختلفی با استفاده از این ؟ تعیین شود.

دوباره به تشابه میان خط بالا از معادله D برای توصیف فرمول واریانس توجه کنید.

واریانس از چرخش‌ها برای ذخیره برای مثال ما به داده‌های زیر تعیین می‌شود.

بنابراین، واریانس چرخش در توزیع 0/001375 است و واریانس استاندارد چرخشی از 066144/0 است.

APLICATION 9.3 VALUING CONTINUOUS 

بسیاری از کمپانی‌‌ها را که تقسیمی را در یک قسمت اصلی می‌سازند بهرحال، تقویم پرداختی از بنگاه به بنگاه دیدی تغییر می‌کند.

یک پیوست تخمین می‌زد یک پرتفولیوازیک تعداد زیادی از ذخیره‌ها (سود پرداختی) که احتمالاً پرداخت تضمینی در طی یک سال منعکس خواهد کرد. یک پرتفولویو از امنیت‌های هدف یابی شد برای تحسین S & PSOO پیوست احتمالا divined از کمپانی‌ها در تمرین یا این ممکن است عملی شود برای مدل سازی ساختار پرداختی divided برای هر پرتفولیو همچنان که divided به طور مستمر دریافت کردند فرض کنید که ما می‌خواستیم ارزیابی کنیم (streandivion) دریافت شده با یک سه یا 1 در طی دوره 5 ساله. سریا شامل یک تعداد زیادی از divided ذخیره پرداختی staggered در طی سال ما فرض خواهیم کرد که این سرمایه‌ها تقسیمی را دریافت کنند در یک پایه اسمرهای با نرخ 000/100$ هر سال در t=0 شروع می‌شود مقدار dividend مشابه دریافت می‌شود با سریال هر سال پخش تقسیمی ادامه دارد. فرض بیشتر که این تقسیم محاسبه نمی‌کند در یک ترکیب اسمرها از k=%5 هر سال.

ارزش فعلی همه تقسیمی دریافت شده در یک مدت کوچک

جایی که pv' مساوی ارزش فعلی تقسیمی دریافت شده در طی مدت  است.

معادله (12-9) می‌گوید که دریافتی تقسیمی ارزش سرمایه را بالا می‌برد.

معادله (12-9) نرخ تغییرات در سرمایه و به علت دریافتی تقسیمی کاهش می‌دهد.

مقدار پرداختی تقسیم شده در هر مدلسازی کوتاهی dt مساوی f(t)dt دریافت می‌شود.

ارزش فعلی این جمع مساوی

بنابراین، ارزش فعلی دریافتی تقسیمی در طی دو سازمان کوتاه dt برابر و برای پیدا کردن ارزش حال جمع دریافتی در طی یک مدل متناهی با T=0 کسی ممکن است انتگرال معین را به شکل زیر به کاربرد.

هنگامی که معادله 12-9 و A نرخ تغییرات یا روش ارزشیابی تقسیمی را ارائه دهند. معادله 13-9 و B داده‌های B مسیر یا ارزش تراکمی را ارائه می‌دهند.

در مثال عددی ما، کسی ممکن است ارزش مال تقسیمی که برای هر سریال در زمان صفر برای 5 سال پرداخت می‌شود را طبق پیدا کند.

کاربرد مفید این روش ارزیابی شاخص‌های دادی است که به طور تقسیمی محافظت نمی‌شوند. بسیاری از شاخص‌ها قیمت اجزای سازنده ذخیره را منعکس می‌کنند اما نه پرداختی تقسیمی بوسیله سرمایه جز.

از زمانی که قیمت سهام کاهش پیدا کرد برای انعکاس ارزش تقسیمی، سرمایه‌هایی که شامل سهام بودند سرمایه‌ای که شامل سهامی‌های است که ارزش را برای انعکاسی ارزش پرداخت قیمتی کاهش خواهد داد.

سرمایه گذاری‌ها موقعیت‌هایی را در انتخاب و قرار دادهای آتی در این سرمایه‌ها بوجود می‌آورند که پیدا خواهد کرد که ارزش سرمایه به عنوان تقسیمی کاهش پیدا می‌کند بوسیله ترکیب امنیتی و باید ساختار برای شمارش تقسیمی مدل را ارزیابی کند.

به طور مثال، کسی می‌تواند یک موقعیتی را برای یک قرار داد برای خرید یک سرمایه در زمان t=0 بوجود آورد.

هر تقسیمی که بوسیله سرمایه پرداخت می‌شود.

برای سرمایه‌های جاری سرمایه‌های که آنها دریافت می‌شود و به سرعت پرداخت می‌شوند.

فرض کنید که سرمایه تعریف شده بالا به طور جاری 000/000/2 $ برای سرمایه داران برای سرمایه داران جاری می‌ارزد.

و برای هر سرمایه دار تقسیمی که آنها را دریافت می‌کند.

فرض کنید یک قرار داد اختیار (call) که سرمایه دار را قادر می‌سازد که سهام سرمایه را در طی پنج سال بخرد. سرمایه دار را قادر نخواهد ساخت که هر سود قیمتی پرداخت شده را بوسیله سرمایه در طی پنج سال بدست آورد.

(portion) ارزش سرمایه جاری attributable برای تقسیم شدن پرداخت شود طی پنج سال باید (deducted)  ارزش (overall).

از زمانیکه که سرمایه گذار اختیار را تمرین می‌کند حق ندارد که این تقسیمی‌ها را دریافت کند. سرمایه گذار با قرار داد خرید برای خرید سرمایه طی پنج سال ممکن است سرمایه را بعد از تقسیمی در ارزیابی کند. $2,000,000 - $442,398=$1,557,602 بستگی به ارزش حال تقسیمی دارد او نخواهد توانست دریافت کند او call option  را تمرین می‌کند.

APPLICATION 9.4: EXPECTED OPTION VALUES

ارزش آینده مورد انتظار در call اروپایی مساوی ارزش مورد انتظار در تمرین  است. multiplied بوسیله احتمالی که تمرین خواهد شد.  اگر دامنه قیمت شد پتانسیل ادامه پیدا کند، طبق واسطه‌های زیر مخففی است نوشته شود.

جایی که p(Sn) تابع چگالی برای قیمت سهام است یادداشت‌هایی که ارزش اختیار صفر است. هنگامی که  احتمال اینکه S اختیار تمرین خواهد شد مساوی

15-9                

ارزش مورد انتظار از شرایط اختیار که تمرین می‌شود مساوی

16-9           

14-9 معادلات مختلف

اقتصاد دانان مالی (practitioners) اغلب راجع به توسعه یا تغییرات متغیر یا دارایی طی زمان نگران هستند.

معادلات مختلف ممکن است سازمان دهی شود که مدل دارایی در طی مدت زمانی را تغییر دهد (evolution یا مستقیم) از این معادله، معادله دوم (راه حل) ممکن است بدست آید برای اینکه ارزش دارایی را تعریف کند. (حالت یا مسیر) دو نکته داده شده در زمان.

راه حل معادلات مختلف به عنوان تابع زمانی که یک یا چند مشتق وجود دارد تعریف می‌شود.

راه حل معادلات مختلف یک تابعی است که جانشین برای متغیر وابسته در معادلات مختلف یک تابعی است که جانشین برای متغیر وابسته در معادله مختلف به چگالی منتهی می‌شود.

داده یک مثالی از معادلات مختلف و راه حلی است که شامل متغیر وابسته x و متغیر مستقل t است.

ما راه حل را برای معادلة differential را با توجه به اینکه این مشتق x را با توجه به راه حل B ارائه می‌دهد تغییر می‌دهیم. معادله A تغییراتی در متغیر x حلی مدت زمانی  ارائه می‌دهد. توجه کنید که این نرخ تغییرات هنگامی که t افزایش پیدا می‌کند.

معادله B حالت یا ارزش x در نقطه داده شدده در زمان t ارائه می‌دهد.

یک معادله differential با این فرم نوشته می‌شود با داده زیر می‌تواند حل شود.

داده یک مثالی از معادله جداشدنی و مشکل ساز است.

در یک معادله  برای حل این معادله، ما باید متغیر را طبق داده جدا کنیم.

پس، ما هر دو طرف را انتگرال بگیریم و یک راه حل عمومی برای x بدست آوریم.

ثابت k هر ارزشی می‌تواند فرض شود. بنابراین، راه حل عمومی برای معادلات مختلف ما می‌تواند هر ارزش چگالی را فرض شود. را حل ویژه زمانی که k ارزش خاص فرض شود نتیجه می‌دهد. در این مورد، یک راه حل ویژه برای x می‌تواند   باشد.

جایی که x0 مساوی ارزش x زمانی که t=0 است.

بسیاری از مدل‌های ارزشی بر پایه زمان و فضایی استمرهای هستند.

این به معنای آن است که امنیت‌هایی آنها ارزیابی می‌کنند evolve طی زمان ادامه دارد.

(قیمت آنها می‌توانند در هر مثالی مشاهده شود) و قیمت آنها می‌توانند در هر ارزش شماره واقعی گرفته شود.

فرض کنید که evolution از قیمت سرمایه بتواند بوسیله معادله مختلف جدا شدنی توصیف شود.

 شیب امنیت یا معنی (instantaneous) نرخ بازگشت را ارائه می‌دهد. بنابراین

تغییرات قیمت امنیت به ازای هر واحد (infinitesimal) در زمان مساوی  است. این معادله مختلف می‌تواند طبق واحد زیر جدا شود.

راه حل برای معادله مختلف قیمت امنیت را در لحظه t می‌دهد.

راه حل برای معادله مختلف (18-9) با این انتگرال واحد می‌تواند بدست آید.

این انتگرال با این داده‌های زیر حل می‌شوند.

ما اجازه می‌دهیم  و نتایج آنتی لگاریتم را اینگونه می‌نویسیم.

معادله 20-9 یک راه حل عمومی برای معادلات مختلف 18-9، ارائه می‌دهد.

اگر ek را مساوی قیمت سهم S0 در زمان صفر در نظر بگیریم.

راه حل ویژه برای معادله 18-9 برای مدله کردن قیمت امنیت بسیار مفید هستند و بسیار انطباق پذیر هستند برای مدله کردن مراحل بازگشتی تصادفی. حال یک امنیت با ارزش  در زمان t در نظر بگیرید یک امنیت با ارزش که در زمان t در نظر بگیرید. بازگشتی را در پایه اسمرهای ایجاد کنید که امنیت در هر 7 سال برابر شود.

فرض کنید ارزش این امنیت بعد از 10 سال 100$ بود. چه چیزی ارزش ابتدایی S0 از این امنیت خواهد بود؟

ما از معادله 18-9 برای ایجاد مراحل بازگشت امنیت استفاده می‌کنیم.

راه حل این معادله با معادله 20-9 داده شده است.

بنابراین  با این نتیجه دما می‌توانیم به راحتی این ارزش ابتدایی امنیت را حل کنیم.

APPLICATION 9.6: ANNUITIES AND GROWING ANNUITIES

یک سرمایه گذار را در نظر بگیرید که تقسیمی را به طور مستمر از Drokerage نرخ 000/100$ هر سال جمع آوری می‌کند.

تقسیمی در نصب مساوی در طی هر زمان کوتاهی جمع می‌شود.

روز یا زمان کوتاه تری در طی dt) در طی سال نصب می‌تواندبه طور مستمر مدله شود اگر پرداختی تقسیمی نرخ سالیانه 5% محاسبه شود ارزش حال جریان تقسیمی پرداخت شده درطی یک سال چه خواهد بود؟

پرداختی تقسیمی که بوسیله هر سرمایه گذار در طی زمان کوتاه dt دریافت می‌شود مساویاست.

ارزش حال این جمع دریافت شده در زمان t مساوی  است. برای پیدا کردن ارزش حال کل جمع‌های دریافت شده بیشتر از شروع ابتدایی محدود با t=0 داده معین انتگرال را حل کنید.